Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado de un experimento aleatorio determinado, esto es, en un experimento aleatorio donde se observan los resultados y estos son medidos, las mediciones de valor numérico dan lugar a las variables aleatorias. El valor de las variables aleatorias no se puede predecir, aunque se puede conocer su comportamiento aproximado mediante las mediciones. Un experimento aleatorio es un experimento en el que no es posible predecir el resultado, pero sí es posible observar un patrón en los resultados cuando este se repite muchas veces. Los vectores aleatorios son la base de ello, jugando un papel crucial en el desarrollo de la experimentación variable.
En otras palabras, un experimento es el ejercicio de observar los resultados en determinadas condiciones. A cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio se le denomina suceso resultante (o evento), de acuerdo a esto se define el concepto de la probabilidad de un suceso. La probabilidad de un suceso en un experimento aleatorio, es la proporción que expresa la posibilidad de aparición del suceso en muchas repeticiones del experimento, estas repeticiones son independientes entre sí.
El conjunto de todos los posibles eventos o sucesos (resultados) que puedan ocurrir en un experimento aleatorio es el denominado “espacio muestral” y en un espacio muestral cada uno de sus elementos es un punto muestral, es decir, cada posible suceso resultante es un punto muestral. Una variable aleatoria real es una función que asigna un número real a cada resultado de un experimento aleatorio determinado, se representan con letra mayúscula. En la mayoría de los experimentos aleatorios hay más de una variable aleatoria.
Definición de vectores aleatorios
Un vector cuyas componentes son variables aleatorias es un “vector aleatorio”. Los valores de un vector aleatorio se definen así: Rk ; k≥2 Donde k es la cantidad de dimensiones, en este tema se hará énfasis en los vectores bidimensionales (k=2). Un vector aleatorio real bidimensional (dos dimensiones) es una función que a cada posible resultado de un experimento aleatorio asigna un vector de R2 . Cada coordenada de un vector aleatorio es una variable aleatoria. Ejemplos de vectores aleatorios bidimensionales:
- Vector (X, Y) que representa la estatura y el peso de una persona.
- El vector (X, Y) que representa la temperatura máxima que alcanza una resistencia y el tiempo que tarda en alcanzarla.
- Vector (X, Y) que representa el número de caras obtenidas al lanzar tres monedas y el número de caras seguidas obtenidas.
Distribución conjunta
El comportamiento aleatorio de los vectores se describe mediante una distribución conjunta, la cual acopia toda la información del comportamiento aleatorio del vector. Además de contener la información relativa al comportamiento aleatorio del vector, la distribución conjunta contiene la información referida al comportamiento de las variables aleatorias por individual y de la probable relación entre estas.
Recordar que una variable continua es una variable que no puede numerarse y que toma un número de valores infinitos imposibles de numerar. Las variables discretas, en cambio, son aquellas que pueden numerarse, ya que toman un número de valores finitos o infinito numerable. Un vector aleatorio discreto es un vector cuyas componentes son ambas variables discretas, por tanto, el conjunto de valores que puede tomar este vector es un conjunto numerable y algunos valores asilados toma probabilidades positivas. La función de probabilidad conjunta recoge las probabilidades de cada posible valor del vector aleatorio: P(X=x, Y=y). Denotando la función de probabilidad conjunta como pXY, pXY (x,y)=P(X=x,Y=y) Algunas propiedades de la función de probabilidad son:
- En cualquier punto que no pertenezca al soporte del vector aleatorio, en otras palabras, en un punto que no sea ninguno de los posibles valores de las variables aleatorias, la función de probabilidad es cero: pXY (x,y)=0
- En los puntos que pertenecen a su soporte (es decir, para los posibles valores de la variable aleatoria), la función de probabilidad es mayor que cero: pXY (x,y)>0
- La suma de todas las pXY (x,y) de los valores que pertenecen al soporte es igual a la unidad. Ejemplo de función de probabilidad de un vector aleatorio
- Vector aleatorio: (X, Y) Es un vector bidimensional (tiene dos componentes) y discreto (sus componentes son variables aleatorias discretas).
Distribuciones marginales
Como se ha mencionado, las componentes de los vectores aleatorios son variables aleatorias. Para describir el comportamiento del vector aleatorio ya se ha visto la distribución conjunta, pero además de ella el comportamiento aleatorio del vector se describe mediante las distribuciones marginales, que en muchos casos es de interés su estudio, ya que estas describen el comportamiento de cada una de esas variables por separado o de un subconjunto de las variables.
Las distribuciones marginales se pueden obtener a partir de la distribución conjunta. Se analizará, como hasta ahora, el caso de un vector aleatorio discreto. A partir de la función de probabilidad conjunta se pueden obtener las funciones de probabilidad marginales.
Distribuciones condicionadas
La distribución conjunta no solo se obtiene la información de las variables por independiente; sino que también se puede obtener información acerca de la relación que existe entre estas variables, en caso de que exista. Son las distribuciones condicionadas las que pueden brindar este tipo de información. Se abordará el caso específico del vector aleatorio discreto. La función de probabilidad de X condicionada por el suceso Y=y.
La función de probabilidad de Y condicionada por el suceso X=x se obtiene de manera análoga a la anterior. Ya definida la función de probabilidad de una variable condicionada por otra, la función de probabilidad conjunta es el producto de una función de probabilidad marginal y una función de probabilidad condicionada. Es importante destacar una propiedad que se cumple en las funciones de probabilidad condicionada y es que; la sumatoria de todas las funciones de probabilidad de X condicionada por los diferentes sucesos Y=y es siempre 1, lo mismo ocurre en el caso contrario.
Cuando ambas variables X y Y son independientes, se cumple que la función de probabilidad de X condicionada por el suceso Y=y. Es igual a la función de probabilidad marginal de X, de manera análoga se cumple esta propiedad en el caso contrario. Como es evidente, se cumple la propiedad que se mencionó antes de que la sumatoria de las funciones de probabilidad de una variable condicionada por otra es equivalente a 1.
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